Cari Blog Ini

Memuat...

Sabtu, 07 Agustus 2010

MATRIKS


-->
a.   kesamaan dua matriks: A=B
b.   jumlah/selisih dua matriks: A ± B
c.    perkalian skalar: cA
d.   perkalian dua matriks AB
Partisi matriks: Matriks blok
Perkalian matriks sebagai kombinasi linier
e.   transpose suatu matriks
f.     trace suatu matriks bujur sangkar
a.   A+B=B+A
b.   A+(B+C)=(A+B)+C
c.    A(BC)=(AB)C
d.   A(B+C)=AB+AC
e.   (A+B)C=AC+BC
f.     c(A+B)=cA+cB
g.   (a+b)C=aC+bC
h.   a(bC)=(ab)C
i.     a(BC)=(aB)C
Matriks nol dan sifat-sifatnya:
a.   AB=O tdk berarti salah satu dari A atau B harus nol
b.   A+O=A
c.    A-A=O
d.   O-A=-A
e.   AO=O, OA=O namun AO tdk harus sama dengan OA
Matriks identitas (I) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diagonalnya 1 dan elemen lainnya 0.
Untuk sembarang matriks A yg conformable dg I berlaku IA=A= AI (dlm hal ini I yg dimaksud mungkin berbeda ukurannya).
Th: bila A matriks bujur sangkar maka bentuk echelon baris terreduksi dari A akan berupa I atau memuat baris nol.
Matriks inverse:
Suatu matriks bujur sangkar B dikatakan inverse dari A bila AB=BA=I.
Jika ada matriks B yg demikian, maka A dikatakan invertable. Dan B dinotasikan sebagai A-1.
Th: Inverse suatu matriks adalah unique.
Th: Bila A dan B matriks dengan ukuran sama dan keduanya invertable, maka:
a.   AB juga invertable
b.       (AB)-1=B-1 A-1




Pangkat dari matriks: 









Th: bila A memiliki inverse, maka

Transpose suatu matriks:
Jika diberikan matriks A, maka transpose dari matriks A, yaitu AT, adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengubah baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom pada matriks AT.
Th: (AB)T=BTAT
Th: jika A memiliki inverse maka demikian juga transposenya. Dlm hal ini (AT)-1=(A-1)T

Matriks elementer: adalah matriks yang dapat diperoleh dari suatu matriks identitas dengan melakukan satu operasi baris elementer.
Th: Jika diketahui E adalah suatu matriks elementer maka EA adalah matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer sebagai mana matriks E didapat dari I.
Th: Diberikan A suatu matriks bujur sangkar. Keempat pernyataan berikut adalah ekivalen.
a.   A memiliki inverse
b.   Ax=0 hanya memiliki solusi trivial
c.    Bentuk eselon ter-reduksi dari A adalah I
d.   A dapat dinyatakan sebagai perkalian berhingga matriks-matriks elementer
Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen baris bila B dapat diturunkan dari A dengan melakukan sejumlah berhingga operasi baris elementer atau sebaliknya.




Mencari inverse matriks melalui matriks elementer:
Temukan matriks-matriks elementer E1…En sedemikian hingga:





In practice: [A|I]  [I|A-1]

Solusi SPL:
Jika A bujur sangkar dan memiliki inverse, maka Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x=A-1b
Th: Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dan BA=I atau AB=I maka B adalah inverse dari A dan sebaliknya.
Th: Jika A adalah matriks ukuran nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
a.   A mempunyai inverse
b.   Ax=0 hanya memiliki solusi trivial
c.    Bentuk eschelon baris tereduksi dari A adalah I
d.   A dapat dinyatakan sebagai perkalian berhingga matriks elementer
e.   Ax=b konsisten untuk setiap vektor b
f.     Ax=b memiliki tepat satu solusi untuk setiap vektor b.
Fundamental problem:
Jika diberikan matriks A berukuran mxn, carilah himpunan vektor ruas kanan b sedemikian hingga Ax=b konsisten.
Caranya: bawa A|b ke bentuk echelon baris, kemudian tentukan kondisi untuk b.
Matriks-matriks khusus
Pandang A suatu matriks bujur sangkar:
a.   A dikatakan matriks diagonal bila A(i,j)=0 untuk semua i j
b.   A dikatakan matriks segitiga atas bila A(i,j)=0 utk semua ij.
c.    A dikatakan simetrik bila A(i,j)=A(j,i)
Th:
a.   perkalian dua matriks segitiga bawah/atas adalah segitiga bawah/atas
b.   suatu matriks segitiga akan mempunyai inverse bila semua elemen diagonalnya tidak nol
c.    inverse dari suatu matriks segitiga atas/bawah jika ada adalah matriks segitiga atas/bawah
d.   bila A dan B simetrik, maka A B juga simetrik (namun perkalian dua matriks simetrik belum tentu simetrik)
e.   jika A simetrik dan memiliki inverse, maka inverse A juga simetrik

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Amazon Deals